Задание 95961E: Механика

Модель. Груз движется поступательно, пружина лёгкая, трение сухое. Система отсчёта — Земля. Ось x направлена вправо, от закреплённого конца пружины; x = 0 соответствует её естественной длине. Ось y направлена вверх. На груз действуют mg вниз, N вверх, сила пружины −kx и сила трения против движения.

При движении груза влево трение направлено вправо. Второй закон Ньютона:
N − mg = 0, ma_x = −kx + μN.
Следовательно, N = mg, модуль трения скольжения равен μmg. Пусть первая остановка происходит при сжатии пружины на величину b > 0, то есть при x = −b. Пройденный путь равен d + b. Теорема об изменении механической энергии даёт:
kd²2 − kb²2 = μmg(d + b).
Сокращая положительный множитель d + b, получаем:
d − b = 2μmgk.

Чтобы после остановки не началось движение вправо, трение покоя должно удержать сжатую пружину: kb ≤ μmg. С увеличением d растёт b, поэтому максимально допустимое растяжение соответствует kb = μmg. Совместно с предыдущим уравнением:
b = μmgk, d = 3μmgk,
m = kd3μg.

Подстановка:
m = 100 Н·м⁻¹ · 0,15 м3 · 0,2 · 10 м·с⁻² = 2,5 кг.

Проверка. Трение равно 5 Н, окончательное сжатие b = 0,05 м. Начальная энергия 1,125 Дж, конечная энергия пружины 0,125 Дж; потеря 1 Дж равна работе против трения 5 Н · 0,20 м. После остановки пружина действует вправо с силой 5 Н, которую предельное трение покоя уравновешивает.