Задание 9102C8: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
2x²+3y²=21;
6x²+9y²=21x.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Левая часть второго уравнения равна левой части первого, умноженной на 3. Умножим всё первое равенство на 3 и вычтем его из второго. Квадратные члены сократятся:
−21x + 63 = 0.
Отсюда −21x = −63, поэтому x = −63−21 = 3.

3. Подставим x = 3 в первое уравнение:
2 · (3)² + 3y² = 21.
3y² = 21 − 18 = 3.
y² = 1 = 1², поэтому y = −1 или y = 1. Оба знака подходят.

4. Проверка обеих пар в исходной системе:
Пара (3; −1):
2(3)²+3(−1)² = 21, 21 = 21;
6(3)²+9(−1)² = 63, 21(3) = 63.
Пара (3; 1):
2(3)²+3(1)² = 21, 21 = 21;
6(3)²+9(1)² = 63, 21(3) = 63.
Вычитание кратного первого уравнения из второго сохраняет равносильность. Значение x единственно, а для него найдены все возможные y.

Ответ: (3; −1); (3; 1).