Задание 3CCDCA: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Рассматриваем действительные значения x. Оба слагаемых в левой части — квадраты, поэтому каждый неотрицателен. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба квадрата одновременно равны нулю.

2. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе:
x² − 16 = 0,
x² + x − 12 = 0.
Важно, что должны выполняться сразу оба уравнения, а не одно из них.

3. Из первого уравнения x² = 16 = 4². Поэтому возможны только два значения: x = −4 и x = 4. Проверим их во втором уравнении:
При x = −4: (−4)² + 1 · (−4) − 12 = 0. Второе уравнение выполнено.
При x = 4: 4² + 1 · 4 − 12 = 8. Второе уравнение не выполнено, это значение исключаем.
Остаётся единственный корень x = −4.

4. Проверка в исходном уравнении при x = −4:
(−4)² − 16 = 0,
(−4)² + 1 · (−4) − 12 = 0.
Поэтому исходная сумма квадратов равна 0² + 0² = 0. Других действительных корней нет: первый квадрат обращается в ноль только при двух уже проверенных значениях.

Ответ: −4.