Задание 8EE344: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(11⁸)⁻¹ = 11⁻⁸.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 11: −3 + 12 − 8 = 1.
После сокращения получаем 11.
11 = 11.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 3138428376721, знаменатель — 285311670611. Их отношение: 3138428376721285311670611 = 11.
Получено то же значение 11. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 11.