Задание 8CCFF9: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: −11(x − 2)² − 3 ≥ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 2 − √3, x ≠ 2 + √3. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: −11(x − 2)² − 3 − (0) ≥ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
(x − 2)² − 3 = x² − 4 · x + 1.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −11x² − 4 · x + 1; требуется f(x) ≥ 0.
Найдём нули x² − 4 · x + 1: D = (−4)² − 4 · (1) · (1) = 12.
По формуле x = −(−4) ± 2 · √32 · (1) получаем x = 2 − √3, x = 2 + √3.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 2 − √3, 2 + √3.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 2 − √3): при x = −1 получаем f(x) = −116, знак отрицателен.
(2 − √3; 2 + √3): при x = 1 получаем f(x) = 5,5, знак положителен.
(2 + √3; +∞): при x = 5 получаем f(x) = −116, знак отрицателен.
x = 2 − √3 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 2 + √3 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (2 − √3; 2 + √3).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (2 − √3; 2 + √3).