Задание 2AC60B: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x − 8)² < √3 · (x − 8).
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x − 8)² − (√3 · (x − 8)) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 8) · (x − 8 − √3); требуется f(x) < 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один линейный множитель равен нулю:
x − 8 − √3 = 0, откуда x = 8 + √3.
x − 8 = 0, откуда x = 8.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 8, 8 + √3.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 8): при x = 7 получаем f(x) = 1 + √3, знак положителен.
(8; 8 + √3): при x = 9 получаем f(x) = 1 − √3, знак отрицателен.
(8 + √3; +∞): при x = 11 получаем f(x) = 9 − 3 · √3, знак положителен.
x = 8 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 8 + √3 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак <, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (8; 8 + √3).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (8; 8 + √3).