Задание 8941C2: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение (x+2)⁴−4(x+2)²−5=0 является многочленным, поэтому допустимы все действительные x. В нём повторяется квадрат выражения x + 2; введём новую переменную t = (x + 2)². Обязательно учитываем t ≥ 0.

2. Четвёртая степень равна квадрату новой переменной: (x + 2)⁴ = t². Получаем квадратное уравнение относительно t:
t² − 4t − 5 = 0.
D = (−4)² − 4 · (1) · (−5) = 36.
√36 = 6. По формуле корней t = −(−4) ± 62 · (1).
Получаем t = −1, t = 5.

3. Значение t = −1 отрицательно и не может быть квадратом действительного числа. Остаётся t = 5, то есть (x + 2)² = 5. Следовательно, x + 2 = −√5 или x + 2 = √5.
Переносим постоянное слагаемое и получаем:
x = −2 − √5 или x = −2 + √5.

4. Проверка обоих значений: при каждом из них (x + 2)² = 5, а (x + 2)⁴ = 25. Левая часть исходного уравнения равна 25 + (−4) · 5 + (−5) = 0. Оба корня действительные и различны. Других не существует: отрицательный t невозможен, а положительный квадрат даёт ровно два значения x.

Ответ: −2 − √5; −2 + √5.