Задание 4FB09D: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение x⁴=(2x−8)² определено при всех действительных x. Левая часть — квадрат x², правая — квадрат выражения 2x − 8. Используем разность квадратов, чтобы учесть оба возможных знака.

2. Перенесём правую часть влево и разложим разность квадратов:
(x² − (2x − 8)) · (x² + (2x − 8)) = 0.
После раскрытия скобок внутри множителей:
(x² − 2x + 8) · (x² + 2x − 8) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Решим оба квадратных уравнения:
x² − 2x + 8 = 0.
D = (−2)² − 4 · (1) · (8) = −28.
Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.

x² + 2x − 8 = 0.
D = (2)² − 4 · (1) · (−8) = 36.
√36 = 6. По формуле корней x = −(2) ± 62 · (1).
Получаем x = −4, x = 2.

4. Соберём все действительные корни: −4, 2. Проверка в исходном уравнении:
x = −4: слева (−4)⁴ = 256; справа (2(−4)−8)² = 256.
x = 2: слева (2)⁴ = 16; справа (2(2)−8)² = 16.
Разложение на множители равносильно исходному равенству, а оба множителя исследованы полностью. Поэтому других корней нет.

Ответ: −4; 2.