Задание 889D48: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 4; y = 2. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
16 = 2⁴.
(y⁶)⁻¹ = y⁻⁶.
Для основания 2: 4 = 4.
Для основания x: 4 = 4.
Для основания y: −6 = −6.
Подкоренное выражение равно 16 · x⁴y⁶.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
16 · x⁴y⁶ = (4 · x²y³)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |4 · x²y³|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
648 = 8.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 4096, знаменатель — 64. Их отношение: 409664 = 64.
Получено 64. Квадрат найденного неотрицательного числа: 8² = 64. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 8.

Ответ: 8.