Задание 805539: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x² + x − 42) · (x² + x − 12) ≤ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x² + x − 42) · (x² + x − 12) − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² + x − 42 = (x − 6) · (x + 7).
x² + x − 12 = (x − 3) · (x + 4).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 6) · (x − 3) · (x + 4) · (x + 7); требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −7, −4, 3, 6.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −7): при x = −8 получаем f(x) = 616, знак положителен.
(−7; −4): при x = −6 получаем f(x) = −216, знак отрицателен.
(−4; 3): при x = −3 получаем f(x) = 216, знак положителен.
(3; 6): при x = 4 получаем f(x) = −176, знак отрицателен.
(6; +∞): при x = 7 получаем f(x) = 616, знак положителен.
x = −7 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = −4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 3 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 6 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ [−7; −4] ∪ [3; 6].
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: [−7; −4] ∪ [3; 6].