Задание 88833C: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (5 − x) · (x² + x − 30) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (5 − x) · (x² + x − 30) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² + x − 30 = (x − 5) · (x + 6).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −(x − 5)² · (x + 6); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −6, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −6): при x = −7 получаем f(x) = 144, знак положителен.
(−6; 5): при x = −5 получаем f(x) = −100, знак отрицателен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = −12, знак отрицателен.
x = −6 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −6] ∪ {5}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −6] ∪ {5}.