Задание 44B682: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x + 4) · (x − 8) > 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x + 4) · (x − 8) − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 8) · (x + 4); требуется f(x) > 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −4, 8.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −4): при x = −5 получаем f(x) = 13, знак положителен.
(−4; 8): при x = −3 получаем f(x) = −11, знак отрицателен.
(8; +∞): при x = 9 получаем f(x) = 13, знак положителен.
x = −4 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 8 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак >, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −4) ∪ (8; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −4) ∪ (8; +∞) соответствует вариант 4.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 4.