Задание 801B6A: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
4x²−5x=y;
8x−10=y.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. В обоих уравнениях правые части равны y. Поэтому приравняем левые части, а второе уравнение сохраним для нахождения y. После переноса всех слагаемых влево и приведения подобных получим:
4x² − 13x + 10 = 0.
D = (−13)² − 4 · (4) · (10) = 9.
√9 = 3. По формуле корней x = −(−13) ± 32 · (4).
Получаем x = 54, x = 2.

3. Для каждого найденного x вычислим y по второму исходному уравнению:
При x = 54 из второго уравнения y = 0.
При x = 2 из второго уравнения y = 6.
Каждому значению x соответствует ровно одно значение y.

4. Проверка пар в обоих исходных уравнениях:
Пара (54; 0):
4(54)²−5(54) = 0, (0) = 0;
8(54)−10 = 0, (0) = 0.
Пара (2; 6):
4(2)²−5(2) = 6, (6) = 6;
8(2)−10 = 6, (6) = 6.
Оба равенства выполнены для каждой пары. Полученное квадратное уравнение решено полностью, поэтому других решений системы нет.

Ответ: (54; 0); (2; 6).