Задание F66235: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение: x²−2x+√4−x=√4−x+15. Квадратные корни определены, если 4 − x неотрицательно. Область допустимых значений: x ≤ 4.

2. На этой области одинаковое слагаемое √4 − x можно вычесть из обеих частей. Получаем x² − 2x − 15 = 0. Область x ≤ 4 сохраняем; возводить уравнение в квадрат не требуется.

3. Решим полученное квадратное уравнение:
x² − 2x − 15 = 0.
D = (−2)² − 4 · (1) · (−15) = 64.
√64 = 8. По формуле корней x = −(−2) ± 82 · (1).
Получаем x = −3, x = 5.

4. Проверим каждого кандидата по исходной области:
x = −3: 4 − (−3) = 7; подкоренное выражение неотрицательно, корень подходит.
x = 5: 4 − (5) = −1; подкоренное выражение отрицательно, значение недопустимо.

5. Проверка принятого корня x = −3. Подкоренное выражение равно 7, а часть без корня равна (−3)² + (−2) · (−3) = 15. Поэтому обе части исходного уравнения равны 15 + √7. Все преобразования на области допустимых значений равносильны, других корней нет.

Ответ: −3.