Задание 3CA76F: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
7x²−5x=y;
7x−5=y.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. В обоих уравнениях правые части равны y. Поэтому приравняем левые части, а второе уравнение сохраним для нахождения y. После переноса всех слагаемых влево и приведения подобных получим:
7x² − 12x + 5 = 0.
D = (−12)² − 4 · (7) · (5) = 4.
√4 = 2. По формуле корней x = −(−12) ± 22 · (7).
Получаем x = 57, x = 1.

3. Для каждого найденного x вычислим y по второму исходному уравнению:
При x = 57 из второго уравнения y = 0.
При x = 1 из второго уравнения y = 2.
Каждому значению x соответствует ровно одно значение y.

4. Проверка пар в обоих исходных уравнениях:
Пара (57; 0):
7(57)²−5(57) = 0, (0) = 0;
7(57)−5 = 0, (0) = 0.
Пара (1; 2):
7(1)²−5(1) = 2, (2) = 2;
7(1)−5 = 2, (2) = 2.
Оба равенства выполнены для каждой пары. Полученное квадратное уравнение решено полностью, поэтому других решений системы нет.

Ответ: (57; 0); (1; 2).