Задание 74944E: Оптика

1. Система отсчёта связана с неподвижной тонкой линзой; ось x направлена по главной оптической оси вправо, ось y — вверх. Начало координат O в центре линзы. Используем модель геометрической оптики и параксиальную формулу тонкой линзы. Механического движения нет, уравнения сил не требуются. Для точки предмета d>0 — расстояние до линзы, y — высота; для действительного изображения f>0. Тогда
1F = 1d + 1f,
f = Fdd − F,
y′ = −fd · y = −Fd − F · y.
Знак минус означает переворот относительно оси.
2. Назовём осевые вершины A (дальняя) и C (ближняя), верхнюю B, нижнюю D. Половина диагонали квадрата δ=a÷√2. Его центр находится на d₁=80 см. Оптическая сила даёт фокусное расстояние F=1÷D.
Подстановка:
F = 12,5 м = 40 см, δ = 20√2 см = 10√2 см.
Расстояния до вершин: d_A=80+δ, d_C=80−δ, d_B=d_D=80 см. Высоты B и D соответственно +δ и −δ.
3. Так как B и D лежат на 2F, их изображения также на 2F, увеличение по модулю равно 1. Поэтому поперечная диагональ изображения B′D′=2δ. Для осевых вершин:
f_A = F(2F + δ)F + δ,
f_C = F(2F − δ)F − δ.
Вычитая дроби, получаем продольную диагональ:
A′C′ = f_C − f_A = 2F²δF² − δ².
Подстановка:
A′C′ = 2·40²·10√240² − 200 см = 160√27 см,
B′D′ = 20√2 см.
4. Изображение — четырёхугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями. Поперечная диагональ делится осью пополам, но продольная, вообще говоря, не делится другой диагональю пополам: называть результат квадратом или ромбом нельзя. Складывая площади четырёх прямоугольных треугольников, получаем
S = A′C′ · B′D′2 = 2F²δ²F² − δ².
Подстановка:
S = 2·1600·2001600 − 200 см² = 32007 см² ≈ 457,14 см².
Построение. Для внеосевой вершины проводим луч параллельно главной оси: после линзы он идёт через задний фокус. Второй луч через O не отклоняется. Их пересечение даёт изображение вершины. Для осевой вершины один луч идёт по оси, второй наклонный луч после линзы пересекает его в рассчитанной точке f; его направление подчиняется той же формуле линзы. Соединяем изображения соседних вершин. Прямые стороны переходят в прямые: все их точки лежат в одной плоскости лучей, а отображение координат выше сохраняет прямолинейность. На рисунке отдельно увеличена получившаяся фигура; масштаб по обеим осям этой детали одинаковый.
Проверка. f_A≈69,55 см, f_C≈101,88 см, а B′D′ лежит на x=80 см, то есть диагонали действительно пересекаются внутри фигуры. Все d>40 см. Половина произведения диагоналей 32,3249 см и 28,2843 см равна 457,1429 см². Каждая вершина независимо удовлетворяет формуле линзы; одного общего увеличения у наклонённого квадрата нет.

Ответ: S = 32007 см² ≈ 457,14 см².