Задание 727066: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение x⁴=(2x−15)² определено при всех действительных x. Левая часть — квадрат x², правая — квадрат выражения 2x − 15. Используем разность квадратов, чтобы учесть оба возможных знака.

2. Перенесём правую часть влево и разложим разность квадратов:
(x² − (2x − 15)) · (x² + (2x − 15)) = 0.
После раскрытия скобок внутри множителей:
(x² − 2x + 15) · (x² + 2x − 15) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Решим оба квадратных уравнения:
x² − 2x + 15 = 0.
D = (−2)² − 4 · (1) · (15) = −56.
Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.

x² + 2x − 15 = 0.
D = (2)² − 4 · (1) · (−15) = 64.
√64 = 8. По формуле корней x = −(2) ± 82 · (1).
Получаем x = −5, x = 3.

4. Соберём все действительные корни: −5, 3. Проверка в исходном уравнении:
x = −5: слева (−5)⁴ = 625; справа (2(−5)−15)² = 625.
x = 3: слева (3)⁴ = 81; справа (2(3)−15)² = 81.
Разложение на множители равносильно исходному равенству, а оба множителя исследованы полностью. Поэтому других корней нет.

Ответ: −5; 3.