Задание B5C26E: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
x²+y=7;
2x²−y=5.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Сложим уравнения системы: слагаемые y и −y взаимно уничтожатся. Получим 3x² = 12, то есть x² = 123 = 4.
Следовательно, x = −2 или x = 2. Учитываем оба знака.

3. Подставим каждое значение x в первое исходное уравнение. Для обоих x² = 4.
При x = −2 из первого уравнения y = 3.
При x = 2 из первого уравнения y = 3.
Для каждого найденного x первое уравнение определяет y однозначно. Сумма уравнений вместе с первым равенством равносильна исходной системе.

4. Проверка каждой пары сразу в двух исходных уравнениях:
Пара (−2; 3):
(−2)²+(3) = 7, 7 = 7;
2(−2)²−(3) = 5, 5 = 5.
Пара (2; 3):
(2)²+(3) = 7, 7 = 7;
2(2)²−(3) = 5, 5 = 5.
В каждой паре выполнены оба равенства. Других значений x и соответствующих им y нет.

Ответ: (−2; 3); (2; 3).