Задание 750F66: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Область допустимых значений — все действительные числа: обе части уравнения являются многочленами. Найдём все корни. Используем группировку слагаемых, чтобы выделить общий множитель.

2. Перенесём правую часть в левую с изменением знаков.
x³ + 3x² − 16x − 48 = 0.
x²(x + 3) − 16(x + 3) = 0.
(x + 3)(x² − 16) = 0.
Группировка верна, поскольку 16 · 3 = 48. На выражение x + 3 не делим: оно может быть равно нулю.

3. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
x + 3 = 0 или x² − 16 = 0.
Из первого уравнения x = −3. Из второго x² = 16 = 4², поэтому x = −4 или x = 4. Все три корня различны. Других корней нет, поскольку выполненные преобразования равносильны.

4. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −4: левая часть равна (−4)³ + 3 · (−4)² = −16; правая часть равна 16 · (−4) + 48 = −16.
x = −3: левая часть равна (−3)³ + 3 · (−3)² = 0; правая часть равна 16 · (−3) + 48 = 0.
x = 4: левая часть равна 4³ + 3 · 4² = 112; правая часть равна 16 · 4 + 48 = 112.
Во всех трёх случаях левая и правая части совпадают. Ограничений, исключающих эти значения, нет.

Ответ: −4; −3; 4.