Задание 7033CA: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. В исходном уравнении есть знаменатели x и (x)². Они не должны быть равны нулю, поэтому область допустимых значений: x ≠ 0.

2. Введём t = 1x. При допустимом x новая переменная не равна нулю, а 1(x)² = t². Уравнение принимает вид:
t² − t − 6 = 0.
D = (−1)² − 4 · (1) · (−6) = 25.
√25 = 5. По формуле корней t = −(−1) ± 52 · (1).
Получаем t = −2, t = 3.

3. Все найденные значения t ненулевые. Вернёмся к x из равенства x = 1t:
t = −2: x = 1−2 = −12, поэтому x = 0 + (−12) = −12.
t = 3: x = 13 = 13, поэтому x = 0 + (13) = 13.

4. Проверка области и подстановка в исходную левую часть:
x = −12: x = −12 не равно нулю; 1(−12)² + (−1) · 1−12 + (−6) = 4 + (2) + (−6) = 0.
x = 13: x = 13 не равно нулю; 1(13)² + (−1) · 113 + (−6) = 9 + (−3) + (−6) = 0.
Каждое значение удовлетворяет исходному уравнению. Замена обратима при t ≠ 0 и x ≠ 0, поэтому список корней полный.

Ответ: −12; 13.