Задание 5EA9CF: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
5x²−11x=y;
5x−11=y.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. В обоих уравнениях правые части равны y. Поэтому приравняем левые части, а второе уравнение сохраним для нахождения y. После переноса всех слагаемых влево и приведения подобных получим:
5x² − 16x + 11 = 0.
D = (−16)² − 4 · (5) · (11) = 36.
√36 = 6. По формуле корней x = −(−16) ± 62 · (5).
Получаем x = 1, x = 115.

3. Для каждого найденного x вычислим y по второму исходному уравнению:
При x = 1 из второго уравнения y = −6.
При x = 115 из второго уравнения y = 0.
Каждому значению x соответствует ровно одно значение y.

4. Проверка пар в обоих исходных уравнениях:
Пара (1; −6):
5(1)²−11(1) = −6, (−6) = −6;
5(1)−11 = −6, (−6) = −6.
Пара (115; 0):
5(115)²−11(115) = 0, (0) = 0;
5(115)−11 = 0, (0) = 0.
Оба равенства выполнены для каждой пары. Полученное квадратное уравнение решено полностью, поэтому других решений системы нет.

Ответ: (1; −6); (115; 0).