Задание 424AC9: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение x⁴=(4x−5)² определено при всех действительных x. Левая часть — квадрат x², правая — квадрат выражения 4x − 5. Используем разность квадратов, чтобы учесть оба возможных знака.

2. Перенесём правую часть влево и разложим разность квадратов:
(x² − (4x − 5)) · (x² + (4x − 5)) = 0.
После раскрытия скобок внутри множителей:
(x² − 4x + 5) · (x² + 4x − 5) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Решим оба квадратных уравнения:
x² − 4x + 5 = 0.
D = (−4)² − 4 · (1) · (5) = −4.
Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.

x² + 4x − 5 = 0.
D = (4)² − 4 · (1) · (−5) = 36.
√36 = 6. По формуле корней x = −(4) ± 62 · (1).
Получаем x = −5, x = 1.

4. Соберём все действительные корни: −5, 1. Проверка в исходном уравнении:
x = −5: слева (−5)⁴ = 625; справа (4(−5)−5)² = 625.
x = 1: слева (1)⁴ = 1; справа (4(1)−5)² = 1.
Разложение на множители равносильно исходному равенству, а оба множителя исследованы полностью. Поэтому других корней нет.

Ответ: −5; 1.