Задание 6F7274: Динамика

Рассматриваем движение относительно Земли; эту систему отсчёта считаем инерциальной. Тела движутся поступательно, поэтому второй закон Ньютона применим к их центрам масс. При численных расчётах принимаем g=10 м·с⁻².
Нить невесома и нерастяжима, блок идеален: натяжение T одинаково по всей нити. Связь ускорений устанавливаем из постоянства её длины.
Ось Ox для тела M на столе направим вправо, к блоку, Oy — вверх. Для обоих подвешенных тел m вертикальное положительное направление выберем вниз. На M действуют Mg вниз, N вверх, T вправо и F_тр влево. На верхнее тело m действуют mg вниз, T вверх и сила пружины F_упр вниз. На нижнее тело m действуют mg вниз и F_упр вверх.
Длина пружины постоянна, поэтому ускорения подвешенных тел одинаковы. Нерастяжимая нить связывает их с ускорением тела M; все модули равны a. По третьему закону Ньютона лёгкая пружина действует на концы с равными противоположными силами.
Второй закон Ньютона:
Тело M, Ox: T−F_тр=Ma.
Тело M, Oy: N−Mg=0.
Верхнее тело, вниз: mg+F_упр−T=ma.
Нижнее тело, вниз: mg−F_упр=ma.
По горизонтали у подвешенных тел ускорения нулевые.
Складывая три уравнения движения и используя F_тр=μMg, получаем:
a=g(2m−μM)M+2m.
Из уравнения нижнего тела:
F_упр=m(g−a).
Закон Гука: F_упр=k(L−l).
Подстановка для ускорения:
a=10 м·с⁻²·(2·0,400 кг−0,2·0,800 кг)0,800 кг+2·0,400 кг=4 м·с⁻².
F_упр=0,400 кг·(10−4) м·с⁻²=2,4 Н.
Искомая длина L=l+F_упрk.
Подстановка:
L=0,10 м+2,4 Н80 Н·м⁻¹=0,130 м=13 см.
Проверка: T=Ma+μMg=4,8 Н. Для верхнего тела mg+F_упр−T=4+2,4−4,8=1,6 Н=ma; для нижнего 4−2,4=1,6 Н=ma.
Полученное a положительно и меньше g: выбранное движение вниз согласовано, пружина растянута, T>0.