Задание 0DDE03: Динамика

Рассматриваем движение относительно Земли; эту систему отсчёта считаем инерциальной. Тела движутся поступательно, поэтому второй закон Ньютона применим к их центрам масс. При численных расчётах принимаем g=10 м·с⁻².
Груз покоится относительно диска, но относительно Земли движется по окружности радиуса r с угловой скоростью ω=2πν. В рассматриваемый момент ось Ox направим горизонтально к центру диска, Oy — вверх. Для проекций используем мгновенные направления осей в инерциальной системе; центробежную силу не вводим.
На груз действуют mg вниз, N вверх, сила пружины F_упр по радиусу и сила трения покоя F_тр. При максимальном радиусе пружина растянута и тянет к центру, а трение направлено от центра. Это направление ниже проверим из условия допустимости покоя.
Второй закон Ньютона:
Ox: F_упр−F_тр=mω²r.
Oy: N−mg=0.
По касательной ускорение и сумма сил равны нулю при постоянной частоте.
Закон Гука даёт F_упр=k(r−L). Модуль трения покоя не превосходит μN=μmg. Подписанная наружу составляющая трения равна (k−mω²)r−kL. Поэтому условие покоя:
|(k−mω²)r−kL|≤μmg.
Здесь k−mω²>0; максимальный r отвечает положительной границе, то есть направленному наружу предельному трению:
r_max=kL+μmgk−mω².
Подстановка для коэффициента:
k−mω²=30 Н·м⁻¹−0,2 кг·(2π·1 с⁻¹)²≈22,104 Н·м⁻¹>0.
Подстановка в ответ:
r_max=30 Н·м⁻¹·0,20 м+0,3·0,2 кг·10 м·с⁻²22,104 Н·м⁻¹≈0,2986 м.
Проверка: r_max>L. При этом F_упр=k(r_max−L)≈2,958 Н, F_тр=μmg=0,600 Н. Разность 2,358 Н равна mω²r_max≈2,358 Н. При большем радиусе для покоя потребовалось бы трение выше предельного.