Задание 6E569C: Динамика

Рассматриваем движение относительно Земли; эту систему отсчёта считаем инерциальной. Тела движутся поступательно, поэтому второй закон Ньютона применим к их центрам масс. При численных расчётах принимаем g=10 м·с⁻².
Пусть начальная скорость каждого тела v₀, угол 0<α<90°. Тела считаем материальными точками. Для свободного полёта ось Ox направим горизонтально вправо, Oy — вертикально вверх. Единственная сила — mg вниз.
Второй закон Ньютона для свободного тела:
Ox: ma_x=0.
Oy: ma_y=−mg.
Отсюда a_x=0, a_y=−g. Горизонтальная скорость v₀cosα остаётся постоянной. В верхней точке вертикальная скорость равна нулю, поэтому из v_y²=v₀²sin²α−2gh₁ получаем:
h₁=v₀²sin²α2g.
Для тела на плоскости выберем ось Os вверх вдоль склона, On — по нормали от поверхности. На него действуют mg вниз и N по нормали; трения нет. Второй закон Ньютона:
Os: ma_s=−mg sinα.
On: N−mg cosα=0.
Тело тормозит с постоянным ускорением a_s=−g sinα. В верхней точке его полная скорость равна нулю. Из 0=v₀²−2g sinα·s получаем s=v₀²2g sinα. Высота равна s sinα:
h₂=v₀²2g.
Подстановка в отношение высот:
h₁h₂=sin²α<1.
Значит, выше поднимется тело, движущееся по наклонной плоскости.
Проверка по энергии: у свободного тела в верхней точке остаётся горизонтальная кинетическая энергия mv₀²cos²α2. У тела на плоскости вся начальная кинетическая энергия переходит в потенциальную; реакция работы не совершает, так как она перпендикулярна перемещению. Именно оставшаяся горизонтальная скорость делает высоту свободного броска меньшей.