Задание 675547: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=x²+14x−3|x+8|+48.

Область определения: все действительные числа.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = x² + 17x + 72 при x < −8. Выделяем квадрат: y = (x + 172)² − 14. Вершина полной параболы: (−172; −14), ветви направлены вверх. Для уровня y = m кандидаты x = −172 ± √m + 14; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (−8; 0) выколота.

Ветвь 2: y = x² + 11x + 24 при x ≥ −8. Выделяем квадрат: y = (x + 112)² − 254. Вершина полной параболы: (−112; −254), ветви направлены вверх. Для уровня y = m кандидаты x = −112 ± √m + 254; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (−8; 0) включена.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −254, −14, 0. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −254): по ветвям 0 + 0 = 0 точек.

m = −254: по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

m ∈ (−254; −14): по ветвям 0 + 2 = 2 точки.

m = −14: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (−14; 0): по ветвям 2 + 2 = 4 точки.

m = 0: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (0; +∞): по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {−14; 0}.