Задание 63A0D7: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(2⁻¹⁹)⁻¹ = 2¹⁹.
(2¹⁶)⁻¹ = 2⁻¹⁶.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 19 − 16 = 3.
После сокращения получаем 2³.
2³ = 8.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 524288, знаменатель — 65536. Их отношение: 52428865536 = 8.
Получено то же значение 8. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 8.