Задание 546FEF: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
x²+4y²=25;
3x²+12y²=25x.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Левая часть второго уравнения равна левой части первого, умноженной на 3. Умножим всё первое равенство на 3 и вычтем его из второго. Квадратные члены сократятся:
−25x + 75 = 0.
Отсюда −25x = −75, поэтому x = −75−25 = 3.

3. Подставим x = 3 в первое уравнение:
1 · (3)² + 4y² = 25.
4y² = 25 − 9 = 16.
y² = 4 = 2², поэтому y = −2 или y = 2. Оба знака подходят.

4. Проверка обеих пар в исходной системе:
Пара (3; −2):
(3)²+4(−2)² = 25, 25 = 25;
3(3)²+12(−2)² = 75, 25(3) = 75.
Пара (3; 2):
(3)²+4(2)² = 25, 25 = 25;
3(3)²+12(2)² = 75, 25(3) = 75.
Вычитание кратного первого уравнения из второго сохраняет равносильность. Значение x единственно, а для него найдены все возможные y.

Ответ: (3; −2); (3; 2).