Задание 582E9A: Динамика

Рассматриваем движение относительно Земли; эту систему отсчёта считаем инерциальной. Тела движутся поступательно, поэтому второй закон Ньютона применим к их центрам масс. При численных расчётах принимаем g=10 м·с⁻².
Шайбу считаем материальной точкой. В точке отрыва A ось Ox направим по радиусу к центру кольца, ось Oy — по касательной в сторону движения. Обозначим через α угол между горизонталью и радиусом, проведённым в A. Точка O на рисунке — начало движения внизу кольца. На шайбу действуют сила тяжести mg вниз и нормальная реакция N к центру кольца; трения нет.
Второй закон Ньютона до отрыва:
Ox: N+mg sinα=mv²R.
Oy: −mg cosα=ma_y.
Геометрия окружности даёт h=R(1+sinα), поэтому sinα=h−RR. В момент отрыва N=0: поверхность больше не давит на шайбу. Следовательно,
mg·h−RR=mv²R,
v²=g(h−R).
До отрыва нормальная реакция перпендикулярна скорости и работы не совершает, а сила тяжести потенциальна. Поэтому механическая энергия сохраняется. Считая потенциальную энергию нулевой в нижней точке, получаем:
E₀=mv²2+mgh,
E₀=mg(3h−R)2.
Подстановка данных:
E₀=0,010 кг·10 м·с⁻²·(3·0,18 м−0,14 м)2=0,020 Дж.
Проверка: v²=g(h−R)=0,40 м²·с⁻²; энергия в A равна 0,002 Дж+0,018 Дж=0,020 Дж. До высоты h реакция N=2E₀R+mg−3mg·yR положительна, а при y=h становится нулевой. Значит, более раннего отрыва не было. На схеме в самой точке A сила N уже равна нулю, и единственная действующая сила — mg.