Задание 5820CD: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 45; b = 8 + 15 = 8 · 5 + 15 = 415. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
36 · a² + 12 · a · b + b² = (6 · a + b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√36 · a² + 12 · a · b + b² = |6 · a + b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
245 + 415 = 13.
Получаем |13| = 13.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
36 · a² = 57625; 12 · a · b = 196825; b² = 168125.
Сумма этих трёх слагаемых равна 169. 13² = 169, причём 13 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 13.