Задание 571126: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение (x+3)⁴+2(x+3)²−8=0 является многочленным, поэтому допустимы все действительные x. В нём повторяется квадрат выражения x + 3; введём новую переменную t = (x + 3)². Обязательно учитываем t ≥ 0.

2. Четвёртая степень равна квадрату новой переменной: (x + 3)⁴ = t². Получаем квадратное уравнение относительно t:
t² + 2t − 8 = 0.
D = (2)² − 4 · (1) · (−8) = 36.
√36 = 6. По формуле корней t = −(2) ± 62 · (1).
Получаем t = −4, t = 2.

3. Значение t = −4 отрицательно и не может быть квадратом действительного числа. Остаётся t = 2, то есть (x + 3)² = 2. Следовательно, x + 3 = −√2 или x + 3 = √2.
Переносим постоянное слагаемое и получаем:
x = −3 − √2 или x = −3 + √2.

4. Проверка обоих значений: при каждом из них (x + 3)² = 2, а (x + 3)⁴ = 4. Левая часть исходного уравнения равна 4 + (2) · 2 + (−8) = 0. Оба корня действительные и различны. Других не существует: отрицательный t невозможен, а положительный квадрат даёт ровно два значения x.

Ответ: −3 − √2; −3 + √2.