Задание 2E0EEA: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Рассматриваем действительные значения x. Оба слагаемых в левой части — квадраты, поэтому каждый неотрицателен. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба квадрата одновременно равны нулю.

2. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе:
x² − 9 = 0,
x² + x − 6 = 0.
Важно, что должны выполняться сразу оба уравнения, а не одно из них.

3. Из первого уравнения x² = 9 = 3². Поэтому возможны только два значения: x = −3 и x = 3. Проверим их во втором уравнении:
При x = −3: (−3)² + 1 · (−3) − 6 = 0. Второе уравнение выполнено.
При x = 3: 3² + 1 · 3 − 6 = 6. Второе уравнение не выполнено, это значение исключаем.
Остаётся единственный корень x = −3.

4. Проверка в исходном уравнении при x = −3:
(−3)² − 9 = 0,
(−3)² + 1 · (−3) − 6 = 0.
Поэтому исходная сумма квадратов равна 0² + 0² = 0. Других действительных корней нет: первый квадрат обращается в ноль только при двух уже проверенных значениях.

Ответ: −3.