Задание 520F13: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 8; y = 2. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
16 = 2⁴.
(y¹⁰)⁻¹ = y⁻¹⁰.
Для основания 2: 4 = 4.
Для основания x: 4 = 4.
Для основания y: −10 = −10.
Подкоренное выражение равно 16 · x⁴y¹⁰.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
16 · x⁴y¹⁰ = (4 · x²y⁵)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |4 · x²y⁵|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
25632 = 8.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 65536, знаменатель — 1024. Их отношение: 655361024 = 64.
Получено 64. Квадрат найденного неотрицательного числа: 8² = 64. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 8.

Ответ: 8.