Задание 51E76F: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x + 1) · (x − 7) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x + 1) · (x − 7) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 7) · (x + 1); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −1, 7.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −1): при x = −2 получаем f(x) = 9, знак положителен.
(−1; 7): при x = 0 получаем f(x) = −7, знак отрицателен.
(7; +∞): при x = 8 получаем f(x) = 9, знак положителен.
x = −1 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 7 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −1] ∪ [7; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −1] ∪ [7; +∞) соответствует вариант 1.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 1.