Задание DA0268: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: 25 · x² ≥ 4.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: 25 · x² − (4) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (5 · x − 2) · (5 · x + 2); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −0,4, 0,4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −0,4): при x = −2 получаем f(x) = 96, знак положителен.
(−0,4; 0,4): при x = 0 получаем f(x) = −4, знак отрицателен.
(0,4; +∞): при x = 2 получаем f(x) = 96, знак положителен.
x = −0,4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 0,4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −0,4] ∪ [0,4; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −0,4] ∪ [0,4; +∞) соответствует вариант 2.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 2.