Задание 51A22B: Электродинамика

Модель: элементы цепи сосредоточенные, провода идеальные; систему отсчёта связываем с неподвижной цепью. Механическое движение отсутствует, поэтому оси и проекции механических сил здесь не нужны. Положительные направления тока и напряжения выбираем согласованно; если полярность не задана, искомые заряд и напряжение понимаем по модулю.
1. Направим I через Л₁ к узлу разветвления; I₂ и I₃ идут от узла через Л₂ и Л₃. Заряд в узле не накапливается:
I = I₂ + I₃.
Лампы Л₂ и Л₃ параллельны, их напряжения равны:
3αI₂² = 6αI₃².
Для положительных токов I₂ = √2·I₃. Это не омические элементы: сопротивления нельзя считать постоянными.
2. Подстановка отношения токов в узловое уравнение:
I = (√2 + 1)I₃,
I₃ = I√2 + 1, I₂ = √2·I√2 + 1.
Напряжения на последовательных участках складываются:
U = U₁ + U₂ = αI² + 3αI₂².
3. Подстановка найденного I₂:
U = αI²(1 + 6(√2 + 1)²).
Поскольку 1÷(√2 + 1) = √2 − 1, получаем
U = αI²[1 + 6(√2 − 1)²] = (19 − 12√2)αI².
4. Проверка. Коэффициент примерно 2,0294. Токи ветвей положительны и в сумме дают I, напряжения 3αI₂² и 6αI₃² одинаковы. Полное напряжение больше αI² первой лампы. Результат применим лишь в диапазоне токов, где справедливы заданные квадратичные характеристики; продолжать его к малым токам без дополнительного условия нельзя.

Ответ: U = (19 − 12√2)αI² ≈ 2,03αI².