Задание 2907EB: Числа и их свойства

Кратные 20 идут через 20, а кратные 23 — через 23. В искомом отрезке кратных 23 должно быть больше, хотя они встречаются реже.

а) На отрезке от 23 до 92 находятся кратные 23: 23,46,69,92 — четыре числа. Кратные 20 здесь: 40,60,80 — три числа. Значит, такой отрезок существует.

б) Если на отрезке 11 кратных 23, расстояние между первым и последним не меньше 10·23=230. Такой отрезок содержит не менее 11 кратных 20: промежуток между первым и одиннадцатым кратными 20 равен только 200. Поэтому при десяти кратных 20 нельзя получить одиннадцать кратных 23.

в) На отрезке 161,…,299 шесть кратных 20: 180,200,220,240,260,280, и семь кратных 23: 161,184,207,230,253,276,299. В нём 139 чисел. Для восьми кратных 23 нужен разброс не менее 7·23=161, а на любом отрезке с таким разбросом имеется не менее восьми кратных 20. Следовательно, при большей длине преимущество кратных 23 невозможно. Ответ: 139.