Задание 4D4CEF: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 3; b = −4. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
a² + 8 · a · b + 16 · b² = (a + 4 · b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√a² + 8 · a · b + 16 · b² = |a + 4 · b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
4 · −4 + 3 = −13.
Получаем |−13| = 13.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
a² = 9; 8 · a · b = −96; 16 · b² = 256.
Сумма этих трёх слагаемых равна 169. 13² = 169, причём 13 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 13.