Задание 4BCAFD: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение: x²−2x+√3−x=√3−x+8. Квадратные корни определены, если 3 − x неотрицательно. Область допустимых значений: x ≤ 3.

2. На этой области одинаковое слагаемое √3 − x можно вычесть из обеих частей. Получаем x² − 2x − 8 = 0. Область x ≤ 3 сохраняем; возводить уравнение в квадрат не требуется.

3. Решим полученное квадратное уравнение:
x² − 2x − 8 = 0.
D = (−2)² − 4 · (1) · (−8) = 36.
√36 = 6. По формуле корней x = −(−2) ± 62 · (1).
Получаем x = −2, x = 4.

4. Проверим каждого кандидата по исходной области:
x = −2: 3 − (−2) = 5; подкоренное выражение неотрицательно, корень подходит.
x = 4: 3 − (4) = −1; подкоренное выражение отрицательно, значение недопустимо.

5. Проверка принятого корня x = −2. Подкоренное выражение равно 5, а часть без корня равна (−2)² + (−2) · (−2) = 8. Поэтому обе части исходного уравнения равны 8 + √5. Все преобразования на области допустимых значений равносильны, других корней нет.

Ответ: −2.