Задание 4B8601: Электродинамика

1. Система отсчёта лабораторная. Поле изменяется медленно, поэтому рассматриваем почти круговую орбиту и её мгновенный радиус. Ось n направим к центру, τ — по движению. Магнитная сила F_Л = |q|υB направлена по n. Изменение B также создаёт вихревое электрическое поле: его касательная сила F_и изменяет энергию. Магнитная сила сама работы не совершает. Тяжестью и потерями пренебрегаем. В квазистационарном приближении проекции Ньютона:
mυ²R ≈ |q|υB,
ma_τ = F_и.
2. Из нормальной проекции υ = |q|BR÷m. Частота обращения
ν = υ2πR = |q|B2πm.
Следовательно, ν÷ν₀ = B÷B₀. По данному в условии закону W пропорциональна ν, а W = mυ²÷2, поэтому
υ²υ₀² = WW₀ = BB₀,
υυ₀ = √BB₀.
3. С другой стороны, из R = mυ÷(|q|B) находим отношение радиусов. Подстановка отношения скоростей:
RR₀ = υυ₀·B₀B = √B₀B.
Отсюда R = R₀√B₀÷B.
4. Проверка. При B = B₀ радиус прежний. При увеличении B в четыре раза скорость возрастает вдвое, но радиус уменьшается вдвое. Поток BπR² сохраняется. Энергия при этом возрастает за счёт индуцированного электрического поля, а не работы силы Лоренца. Формула относится к медленному изменению, когда радиус успевает меняться мало за один оборот.

Ответ: R = R₀√B₀B.