Задание 465498: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
8 = 2³.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 21 − 15 = 6.
Для основания 3: 7 − 7 = 0.
После сокращения получаем 2⁶.
2⁶ = 64.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 4586471424, знаменатель — 71663616. Их отношение: 458647142471663616 = 64.
Получено то же значение 64. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 64.