Задание 0A7B8E: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. По исходному рисунку множество решений: [−7; 7]. Пустые точки не входят в него, закрашенные входят. Сравним это множество с решениями предложенных неравенств.

2. Вариант 1: x² − 49 ≤ 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 49 − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 49 = (x − 7) · (x + 7).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 7) · (x + 7); требуется f(x) ≤ 0.
Критические точки в порядке возрастания: −7, 7.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −7): при x = −8 получаем f(x) = 15, знак положителен.
(−7; 7): при x = −6 получаем f(x) = −13, знак отрицателен.
(7; +∞): при x = 8 получаем f(x) = 15, знак положителен.
x = −7 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 7 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
Множество решений: [−7; 7].

3. Вариант 2: x² + 49 ≤ 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 49 − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 49; требуется f(x) ≤ 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 49, знак положителен.
Множество решений: ∅.

4. Вариант 3: x² − 49 ≥ 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 49 − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 49 = (x − 7) · (x + 7).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 7) · (x + 7); требуется f(x) ≥ 0.
Критические точки в порядке возрастания: −7, 7.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −7): при x = −8 получаем f(x) = 15, знак положителен.
(−7; 7): при x = −6 получаем f(x) = −13, знак отрицателен.
(7; +∞): при x = 8 получаем f(x) = 15, знак положителен.
x = −7 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 7 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
Множество решений: (−∞; −7] ∪ [7; +∞).

5. Вариант 4: x² + 49 ≥ 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 49 − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 49; требуется f(x) ≥ 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 49, знак положителен.
Множество решений: (−∞; +∞).

6. Только вариант 1 даёт в точности отмеченное на рисунке множество [−7; 7].

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству [−7; 7] соответствует вариант 1.

Проверка полноты: решения всех четырёх неравенств сопоставлены с границами и отмеченными промежутками рисунка.

Ответ: 1.