Задание 8E6FA9: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
3x²−4x=y;
3x−4=y.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. В обоих уравнениях правые части равны y. Поэтому приравняем левые части, а второе уравнение сохраним для нахождения y. После переноса всех слагаемых влево и приведения подобных получим:
3x² − 7x + 4 = 0.
D = (−7)² − 4 · (3) · (4) = 1.
√1 = 1. По формуле корней x = −(−7) ± 12 · (3).
Получаем x = 1, x = 43.

3. Для каждого найденного x вычислим y по второму исходному уравнению:
При x = 1 из второго уравнения y = −1.
При x = 43 из второго уравнения y = 0.
Каждому значению x соответствует ровно одно значение y.

4. Проверка пар в обоих исходных уравнениях:
Пара (1; −1):
3(1)²−4(1) = −1, (−1) = −1;
3(1)−4 = −1, (−1) = −1.
Пара (43; 0):
3(43)²−4(43) = 0, (0) = 0;
3(43)−4 = 0, (0) = 0.
Оба равенства выполнены для каждой пары. Полученное квадратное уравнение решено полностью, поэтому других решений системы нет.

Ответ: (1; −1); (43; 0).