Задание 417E79: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
3x²−2x=y;
3x−2=y.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. В обоих уравнениях правые части равны y. Поэтому приравняем левые части, а второе уравнение сохраним для нахождения y. После переноса всех слагаемых влево и приведения подобных получим:
3x² − 5x + 2 = 0.
D = (−5)² − 4 · (3) · (2) = 1.
√1 = 1. По формуле корней x = −(−5) ± 12 · (3).
Получаем x = 23, x = 1.

3. Для каждого найденного x вычислим y по второму исходному уравнению:
При x = 23 из второго уравнения y = 0.
При x = 1 из второго уравнения y = 1.
Каждому значению x соответствует ровно одно значение y.

4. Проверка пар в обоих исходных уравнениях:
Пара (23; 0):
3(23)²−2(23) = 0, (0) = 0;
3(23)−2 = 0, (0) = 0.
Пара (1; 1):
3(1)²−2(1) = 1, (1) = 1;
3(1)−2 = 1, (1) = 1.
Оба равенства выполнены для каждой пары. Полученное квадратное уравнение решено полностью, поэтому других решений системы нет.

Ответ: (23; 0); (1; 1).