Задание 11667F: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
5x²+y²=61;
15x²+3y²=61x.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Левая часть второго уравнения равна левой части первого, умноженной на 3. Умножим всё первое равенство на 3 и вычтем его из второго. Квадратные члены сократятся:
−61x + 183 = 0.
Отсюда −61x = −183, поэтому x = −183−61 = 3.

3. Подставим x = 3 в первое уравнение:
5 · (3)² + y² = 61.
y² = 61 − 45 = 16.
y² = 16 = 4², поэтому y = −4 или y = 4. Оба знака подходят.

4. Проверка обеих пар в исходной системе:
Пара (3; −4):
5(3)²+(−4)² = 61, 61 = 61;
15(3)²+3(−4)² = 183, 61(3) = 183.
Пара (3; 4):
5(3)²+(4)² = 61, 61 = 61;
15(3)²+3(4)² = 183, 61(3) = 183.
Вычитание кратного первого уравнения из второго сохраняет равносильность. Значение x единственно, а для него найдены все возможные y.

Ответ: (3; −4); (3; 4).