Задание 3CEAAF: Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени

1. Все подкоренные числа положительны. Используем арифметические, то есть неотрицательные, квадратные корни. Раскроем квадрат суммы или разности, обязательно сохранив удвоенное произведение слагаемых.

2. По формуле (u + v)² = u² + 2uv + v²:
(√3 + 8)² = 3 + 16√3 + 64.

3. Подставим разложение в исходное выражение:
3 + 16√3 + 64 − 16√3.
Члены с корнем имеют противоположные коэффициенты и сокращаются. Остаётся 3 + 64 = 67.

4. Проверка: из найденного числа восстановим квадрат скобки, перенеся внешний член с корнем. Получаем 67 + 16√3 = 3 + 64 + 16√3, что точно совпадает с разложением (√3 + 8)². Поэтому сокращение радикалов и итоговый ответ согласуются с исходной записью.

Ответ: 67.