Задание 3AD023: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x − 6)² < √10 · (x − 6).
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x − 6)² − (√10 · (x − 6)) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 6) · (x − 6 − √10); требуется f(x) < 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один линейный множитель равен нулю:
x − 6 − √10 = 0, откуда x = 6 + √10.
x − 6 = 0, откуда x = 6.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 6, 6 + √10.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 6): при x = 5 получаем f(x) = 1 + √10, знак положителен.
(6; 6 + √10): при x = 7 получаем f(x) = 1 − √10, знак отрицателен.
(6 + √10; +∞): при x = 11 получаем f(x) = 25 − 5 · √10, знак положителен.
x = 6 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 6 + √10 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак <, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (6; 6 + √10).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (6; 6 + √10).