Задание BA23E9: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение x⁴=(x−20)² определено при всех действительных x. Левая часть — квадрат x², правая — квадрат выражения x − 20. Используем разность квадратов, чтобы учесть оба возможных знака.

2. Перенесём правую часть влево и разложим разность квадратов:
(x² − (x − 20)) · (x² + (x − 20)) = 0.
После раскрытия скобок внутри множителей:
(x² − x + 20) · (x² + x − 20) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Решим оба квадратных уравнения:
x² − x + 20 = 0.
D = (−1)² − 4 · (1) · (20) = −79.
Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.

x² + x − 20 = 0.
D = (1)² − 4 · (1) · (−20) = 81.
√81 = 9. По формуле корней x = −(1) ± 92 · (1).
Получаем x = −5, x = 4.

4. Соберём все действительные корни: −5, 4. Проверка в исходном уравнении:
x = −5: слева (−5)⁴ = 625; справа ((−5)−20)² = 625.
x = 4: слева (4)⁴ = 256; справа ((4)−20)² = 256.
Разложение на множители равносильно исходному равенству, а оба множителя исследованы полностью. Поэтому других корней нет.

Ответ: −5; 4.