Задание 29FE54: Законы сохранения

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем.
Тело считаем материальной точкой. На гладкой полусфере действуют тяжесть mg вниз и реакция N по внешней нормали. Обозначим угол радиуса с верхней вертикалью θ. Ось Or направим к центру сферы, Os — по касательной вниз вдоль движения. Тогда
Or: mg cosθ−N=mv²R;
Os: mg sinθ=ma_s.
Нормальная реакция работы не совершает, поэтому энергия от вершины до точки отрыва сохраняется:
mgR=mgh+mv²2,
v²=2g(R−h).
При отрыве N=0 и h=R cosθ. Из радиального уравнения v²=gh. Совмещаем два выражения:
gh=2g(R−h),
h=2R3, cosθ=23, sinθ=√53,
v=√2gR3.
После отрыва тело летит по касательной вниз, его вертикальная скорость не равна нулю. Выбираем ось Ox горизонтально вправо, Oy вверх. Начальные проекции скорости: v_x=v cosθ, v_y=−v sinθ. В полёте действует только mg: a_x=0, a_y=−g.
Пусть w=v sinθ — положительный модуль начальной вертикальной скорости вниз. Уравнение падения до горизонтальной поверхности:
0=h−wt−gt²2.
Положительный корень:
t=√w²+2gh−wg.
Так как w²=10gR27 и h=2R3, после упрощения
t=√2R27g·(√23−√5).
Подстановка данных:
t=√2·2,5 м27·10 м·с⁻²·(√23−√5)≈0,348 с.
Проверка: h≈1,667 м, v≈4,082 м·с⁻¹, w≈3,043 м·с⁻¹. За найденное время wt+gt²·12≈1,667 м, что совпадает с высотой отрыва. Время скольжения по сфере в ответ не входит.

Ответ: t≈0,348 с.