Задание 29978C: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. В исходном уравнении есть знаменатели x − 1 и (x − 1)². Они не должны быть равны нулю, поэтому область допустимых значений: x ≠ 1.

2. Введём t = 1x − 1. При допустимом x новая переменная не равна нулю, а 1(x − 1)² = t². Уравнение принимает вид:
t² + 2t − 3 = 0.
D = (2)² − 4 · (1) · (−3) = 16.
√16 = 4. По формуле корней t = −(2) ± 42 · (1).
Получаем t = −3, t = 1.

3. Все найденные значения t ненулевые. Вернёмся к x из равенства x − 1 = 1t:
t = −3: x − 1 = 1−3 = −13, поэтому x = 1 + (−13) = 23.
t = 1: x − 1 = 11 = 1, поэтому x = 1 + (1) = 2.

4. Проверка области и подстановка в исходную левую часть:
x = 23: x − 1 = −13 не равно нулю; 1(−13)² + (2) · 1−13 + (−3) = 9 + (−6) + (−3) = 0.
x = 2: x − 1 = 1 не равно нулю; 1(1)² + (2) · 11 + (−3) = 1 + (2) + (−3) = 0.
Каждое значение удовлетворяет исходному уравнению. Замена обратима при t ≠ 0 и x ≠ 1, поэтому список корней полный.

Ответ: 23; 2.